należał do nowej generacji szwedzkich kompozytorów, którzy w pierwszej dekadzie XX wieku wprowadzili modernizm do swoich kompozycji. Oprócz komponowania, Rangström był także krytykiem muzycznym i dyrygentem.
Rangström urodził się w Sztokholmie, gdzie jako nastolatek zaczął pisać piosenki. Jego nauczyciel muzyki zasugerował, że powinien "nieco bardziej zróżnicować harmonie, uczynić je nieco bardziej dzikimi!". Zastosował się do tej rady i wkrótce zyskał wśród kolegów przydomek "Sturm-und-Drangström". W latach 1905-6 wyjechał do Berlina, gdzie przez pewien czas studiował u Hansa Pfitznera, a także uczył się śpiewu u Wagnera Juliusa Heya, z którym później wyjechał do Monachium na dalsze studia. W latach 1907-1922 uczył śpiewu, a w latach 1922-1925 był głównym dyrygentem Orkiestry Symfonicznej w Göteborgu. W 1918 roku założył Szwedzkie Stowarzyszenie Kompozytorów, a w latach 1931-1936 był zatrudniony do promowania dzieł Królewskiej Opery Szwedzkiej. Następnie pracował jako wolny strzelec i spędzał lato na wyspie Törnsholmen, którą otrzymał od mieszkańców Szwecji, którzy zebrali pieniądze na świętowanie jego pięćdziesiątych urodzin.
Rangström zmarł w swoim domu w Sztokholmie po długiej chorobie spowodowanej chorobą gardła; jego pogrzeb odbył się w sztokholmskim kościele Marii Magdaleny i został pochowany na cmentarzu kościelnym w Gryt, gmina Valdemarsvik, hrabstwo Östergötland, południowo-wschodnia Szwecja. Był dziadkiem dramaturga, również o nazwisku Ture Rangström (ur. w 1944 r.), dyrektora artystycznego Strindbergs Intima Teater (od jego ponownego otwarcia w 2003 r.), i wujkiem autora Larsa Gyllenstena.
