Został uhonorowany tytułem Honorowego Pracownika Sztuki (1979), Artysty Ludowego Gruzińskiej SRR (1988), Kawalera Orderu Honoru (1998) i Honorowego Obywatela Tbilisi
Azarashvili urodził się w Tbilisi. Jego ojciec, Shalva Azarashvili, był entuzjastą muzyki ludowej. Vaja uczęszczał do Państwowego Konserwatorium w Tbilisi pod okiem Aleksandre Shaverzashvili [ka] i Iona Tuskiya. W 1961 roku ukończył studia podyplomowe pod kierunkiem Andrii Balanchivadze. Następnie wykładał na macierzystej uczelni, a w latach 1998-2007 przewodniczył Związkowi Kompozytorów Gruzji. Miał jedną córkę, Natię Azarashvili.
W 1969 roku Azarashvili stworzył koncert na wiolonczelę i orkiestrę kameralną. W latach 70-tych i 80-tych rozszerzył swój repertuar o operetki i balet. W latach 90., pomimo złej sytuacji ekonomicznej w nowo niepodległej Republice Gruzji, stworzył suity symfoniczne i kilka utworów na fortepian. Poświęcił wiele piosenek swojemu rodzinnemu miastu Tbilisi, a niektóre z nich były wykonywane przez takich artystów jak Nani Bregvadze, Giuli Chokheli, Vakhtang Kikabidze, Eter Kakulia, Tamara Gverdtsiteli, Merab Sepashvili, Orera, VIA Iveria i Teatroni. Jego osobiste archiwa zostały zachowane w Funduszu Archiwalnym Narodowego Centrum Rękopisów [ka]. 22 grudnia 2011 r. jego gwiazda została odsłonięta przed Państwową Salą Koncertową w Tbilisi.
Vaja Azarashvili zmarł 7 lutego 2024 r. w wieku 87 lat.