Arcybiskup litewski, błogosławiony od 1643 r., święty od 1867 r. (święto 12 listopada), pierwszy święty unicki.
Jego ojciec, ruski kupiec, nazywał się Kunczyc. Po objęciu wysokiego stanowiska kościelnego Juozapat "podporządkował" sobie nazwisko Kuncewicz. Uczył się w miejscowej szkole prawosławnej, a w 1596 r. przybył do Wilna, by uczyć się kupiectwa. W 1604 r. wstąpił do wileńskiego seminarium św. W 1604 r. wstąpił do klasztoru bazylianów Świętej Trójcy w Wilnie. W 1609 r. został wyświęcony na hierodiakona i mianowany wychowawcą nowicjuszy, a od 1614 r. był archimandrytą klasztoru. W 1617 r. został mianowany igumenem klasztoru w Byteniu koło Słani. Od 1617 r. był biskupem koadiutorem unitów w Połocku. Wraz z metropolitą W. Rutskim zwołał kapitułę klasztorów bazyliańskich w dworze Ruta koło Naugarduka, zjednoczył klasztory bazyliańskie w Wilnie, Byteniu, Żyrowicach, Mińsku i Naugarduku, zreorganizował zakon bazylianów i założył Zakon św. Bazylego Wielkiego - Zakon św. Bazylianie założyli Zakon Przenajświętszej Trójcy z centrum w Wilnie. Od 1618 r. arcybiskup połocki. Gorliwie promował unię Kościołów katolickiego i prawosławnego, czemu sprzeciwiali się prawosławni. Zamordowany przez zbuntowanych mieszkańców Witebska, którzy sprzeciwiali się unii. Jego szczątki były przechowywane w katedrze unickiej w Połocku, później ukrywane w różnych miejscach, a w 1949 r. przeniesione do Bazyliki św. Piotra w Rzymie.