był węgierskim kompozytorem, który wyemigrował do Francji.
Kosma urodził się jako József Kozma w Budapeszcie, gdzie jego rodzice uczyli stenografii i pisania na maszynie. Miał brata Ákosa. Krewnym ze strony matki był fotograf László Moholy-Nagy, a innym dyrygent Georg Solti. Zaczął grać na pianinie w wieku pięciu lat, a później brał lekcje gry na fortepianie. W wieku 11 lat napisał swoją pierwszą operę, Christmas in the Trenches. Po ukończeniu szkoły średniej Franz-Josef uczęszczał do Akademii Muzycznej w Budapeszcie, gdzie studiował u Leo Weinera. Studiował również u Béli Bartóka w Akademii Liszta, uzyskując dyplomy z kompozycji i dyrygentury. Zdobył stypendium na studia w Berlinie w 1928 roku, gdzie poznał Lilli Apel, innego muzyka, którą później poślubił. Kosma spotkał się i studiował z Hannsem Eislerem w Berlinie. Zaprzyjaźnił się z Bertoltem Brechtem i Helene Weigel.
Kosma i jego żona wyemigrowali do Paryża w 1933 roku. W końcu poznał Jacquesa Préverta, który przedstawił go Jeanowi Renoirowi. W latach trzydziestych Kosma połączył siły z Prévertem, aby stworzyć muzykę do wielu wierszy Préverta i nagrać je przez popularnych piosenkarzy. Kilka z nich stało się hitami. Kosma skomponował także muzykę do filmów Renoira, w tym La Grande Illusion (1937), La Bête Humaine (Ludzka bestia, 1938) i La Règle du jeu (Reguły gry, 1939).
Joseph Kosma w 1963 roku
Podczas II wojny światowej i okupacji Francji Kosma został umieszczony w areszcie domowym w regionie Alpes-Maritimes i otrzymał zakaz komponowania. Prévert zdołał jednak zaaranżować dla Kosmy muzykę do filmów, w których występowali inni kompozytorzy. W ramach tej umowy napisał "pantomimę" muzyki do Les Enfants du Paradis (1945), nakręconej podczas okupacji, ale wydanej po wyzwoleniu. Wśród jego innych dokonań znajdują się partytury do Voyage Surprise (1946) i Le Testament du docteur Cordelier (The Doctor's Horrible Experiment, 1959), z których ostatnia została nakręcona dla telewizji. Był również znany z napisania standardowego klasyczno-jazzowego utworu "Les feuilles mortes" ("Autumn Leaves"), z francuskim tekstem Préverta i późniejszym angielskim tekstem Johnny'ego Mercera, który został zaczerpnięty z muzyki w filmie Marcela Carné Les Portes de la Nuit (1946). Piosenka pojawiła się w filmie Autumn Leaves z 1956 roku z Joan Crawford w roli głównej.