Jest walijskim klawiszowcem rockowym, muzykiem sesyjnym, autorem tekstów i producentem nagrań.
Kariera Weavera jako muzyka rozpoczęła się jako współzałożyciel walijskiego zespołu rockowego Amen Corner z lat 60. i jego następcy Fair Weather. W 1971 roku Weaver dołączył do Strawbs po tym, jak klawiszowiec Rick Wakeman odszedł do Yes, wnosząc znaczący wkład w partie klawiszowe i mellotronowe na Grave New World i Bursting at the Seams, najbardziej udanych i uznanych przez krytyków albumach zespołu. Weaver opuścił Strawbs w 1973 roku i koncertował z Mott the Hoople podczas ich amerykańskiej trasy koncertowej z Queen. W 1975 roku były kolega z zespołu Amen Corner, Dennis Bryon, który rok wcześniej zaczął grać na perkusji w zespole wspierającym The Bee Gees, zasugerował Weaverowi zastąpienie klawiszowca w zespole po odejściu Geoffa Westleya. Trzyczęściowy zespół Weavera, Bryona i wieloletniego sidemana Bee Gees, Alana Kendalla, zagrał na albumach Bee Gees Main Course (1975), Children of the World (1976), Here at Last... Bee Gees... Live (1977) i Spirits Having Flown (1979), a także słynny wkład zespołu w ścieżkę dźwiękową Gorączki sobotniej nocy, w tym utwory takie jak "Jive Talkin'" i "You Should Be Dancing".
Jako autor tekstów i kompozytor, Weaver został uznany za współkompozytora przeboju Andy'ego Gibba "(Our Love) Don't Throw It All Away", a także piosenek na album Jimmy'ego Ruffina Sunrise z 1980 roku z Robinem Gibbem jako autorem tekstów, w tym przeboju top 10 "Hold On To My Love". Weaver skomponował ścieżkę dźwiękową do filmu Times Square, ponownie współpracując z Robinem Gibbem przy duecie Gibba z Marcy Levy "Help Me". W latach 80-tych Weaver pracował jako muzyk sesyjny dla Pet Shop Boys.
Od 2009 roku Weaver był dyrektorem i zwolennikiem Gildii Producentów Muzycznych.
