Indrek Leivategija rozpoczął naukę gry na wiolonczeli w wieku pięciu lat u Reeta Metsa. Od 2006 roku studiował pod kierunkiem prof. Wen-Sinn Yang na Uniwersytecie Muzyki i Teatru w Monachium. Uczęszczał również na zaawansowane zajęcia m.in. do prof. Troelsa Svane, prof. Petera Brunsa, prof. Wolfganga Boettchera, prof. Marttiego Rousi i prof. Alexandra Ivashkina.
Indrek Leivategija zdobył pierwszą nagrodę na kilku międzynarodowych konkursach, takich jak Verona Salieri Zinetti Competition i Tallin ESTA Competition. Od 2011 roku posiada stypendium Yehudi Menuhin Live Music Now, a od 2012 roku jest zastępcą wiolonczeli solowej w Bamberg Symphony.
