Urodzony w Baku w Rosji, Mark Drobinsky studiował u Mścisława Rostropowicza w Konserwatorium Czajkowskiego w Moskwie. Otrzymał pierwszą nagrodę na Międzynarodowym Konkursie w Monachium. Uczył w Instytucie Gnessina, a w 1974 roku opuścił ZSRR i wyjechał do Izraela, by ostatecznie osiąść w Paryżu.
Mark Drobinsky występował gościnnie na najbardziej prestiżowych festiwalach. Został okrzyknięty przez krytyków jednym z mistrzów wiolonczeli. Choć jest mocno osadzony w repertuarze klasycznym, z pasją odkrywa nowe dzieła i jest zagorzałym mistrzem muzyki XX wieku: H. Sauguet, H. Dutilleux, A. Schnittke, D. Milhaud, J. Dorfman, F. Kaufman, A. Rabinovitch, G. Zanon...
Występował z wieloma znakomitymi muzykami: Martha Argerich, Misha Majsky, Lilya Zilberstein, Patrice Fontanarosa, Dora Scwarzberg, Bruno Giuranna, Alain Meunier, Renaud Capucon, oraz dyrygentami takimi jak Valery Gergiev, Mstislav Rostropovitch, Saulis Sondeckis, Eduardo Mata, Dominique Fanal, Charles Dutoit, Alexandre Rabinovich, Dmitri Liss, Arjan Tien, Arnold Katz, Salvator Brotons, Maxime Schostakovitch, etc.
Od 2000 roku co roku bierze udział w Festiwalu Marthy Argerich w Lugano (Szwajcaria), a także wystąpił z Marthą Argerich w Teatro Colon w Buenos Aires w 2003 roku. W 2009 roku uczestniczył w Festiwalu LUGANO-PARIS w La Salle Pleyel występując razem z Marthą Argerich.
Od 2010 roku grał na Festiwalu "Mozarteum" w Salzburgu, La Roque d'Antheron, Pietrasanta Festival, a także na Festiwalach Savoy i Mediterranean.
Wydał wiele płyt CD wydanych przez EMI, Talents-Record, Gallo, Cypress itp.
Prowadził kursy mistrzowskie w Korei Południowej, Monako, Sao Paulo, Mexico-City, Buenos-Aires,
W Japonii, na Bahamach, w Johannesburgu, Genewie, Sienie, Portogruaro (Włochy) itp.
Drobinsky gra na włoskiej wiolonczeli wykonanej przez Carlo Antonio Testore w 1748 roku.