Jest niemiecko-francuskim wiolonczelistą. Jego wszechstronna kariera obejmuje występy solowe, muzykę kameralną, dyrygenturę i programowanie artystyczne, z repertuarem obejmującym muzykę dawną i współczesną.
Altstaedt urodził się w Heidelbergu w Niemczech w rodzinie pochodzenia niemieckiego i francuskiego. Jego starszy brat, Christoph Altstaedt, jest dyrygentem.
W latach 1996-2001 Altstaedt był studentem Marcio Carneiro w Hochschule für Musik Detmold, a następnie uczył się u Ivana Monighettiego w City of Basel Music Academy. Był także jednym z ostatnich studentów Borisa Pergamenschikowa w Hochschule für Musik Hanns Eisler Berlin, a później kontynuował naukę u Davida Geringasa i Eberharda Feltza.
Altstaedt zyskał międzynarodową uwagę jako laureat Credit Suisse Young Artist Award w 2010 roku. Następnie zadebiutował z Filharmonikami Wiedeńskimi pod batutą Gustavo Dudamela na Festiwalu w Lucernie, gdzie wykonał Koncert wiolonczelowy Schumanna.
Altstaedt występował na całym świecie z takimi orkiestrami jak Symphonieorchester des Bayerischen Rundfunks, Staatskapelle Berlin, Tonhalle-Orchester Zürich, London Philharmonic Orchestra i Munich Philharmonic, NHK Symphony Orchestra, Seoul Philharmonic Orchestra, National Symphony Orchestra, Detroit Symphony Orchestra, wszystkimi orkiestrami BBC, Orchestre Philharmonique de Radio France i Orchestre National de France. Dyrygenci, z którymi współpracował to Sir Roger Norrington, Esa-Pekka Salonen, Sir Neville Marriner, Christoph Eschenbach, François-Xavier Roth, Lahav Shani i Robin Ticciati.
W 2012 roku Altstaedt został wybrany przez Gidona Kremera na jego następcę jako nowy dyrektor artystyczny Lockenhaus Chamber Music Festival, a w 2014 roku Adam Fischer poprosił go, aby poszedł w jego ślady jako dyrektor artystyczny Haydn Philharmonie, z którą regularnie występuje w Vienna Konzerthaus, Esterhazy Festival, a w przyszłym sezonie odbędzie trasę koncertową po Chinach i Japonii. Altstaedt będzie dyrektorem artystycznym Pfingstfestspiele Ittingen 2019 i 2020.
Altstaedt dokonuje premier nowej muzyki i występuje z takimi kompozytorami jak Wolfgang Rihm, Thomas Ades, Jörg Widmann, Matthias Pintscher, Fazıl Say, Bryce Dessner i Sofia Gubaidulina.
Nagranie koncertów CPE Bacha przez Altstaedta na Hyperionie z Arcangelo i Jonathanem Cohenem otrzymało nagrodę BBC Music Magazine Concerto Award 2017. Jego najnowsze nagranie - Four Cities - program recitalowy utworów Saya, Debussy'ego, Szostakowicza i Janáčka z Fazilem Sayem został wydany przez Warner Classics i otrzymał Edison Klassiek 2017. Altstaedt otrzymał nagrodę Musikpreis der Stadt Duisburg 2018. Był artystą BBC New Generation Artist w latach 2010-2012 oraz stypendystą "Borletti Buitoni Trust Fellowship" w 2009 roku. Altstaedt gra na wiolonczeli G.B. Guadagniniego z 1749 r.
W 2022 r. Altstaedt był - wraz z przyjaciółmi - główną gwiazdą słynnego koncertu Prinsengracht w Amsterdamie.
