Он был заслуженным деятелем искусств (1979), народным артистом Грузинской ССР (1988), кавалером ордена Чести (1998) и почетным гражданином Тбилиси
Азарашвили родился в Тбилиси. Его отец, Шалва Азарашвили, увлекался народной музыкой. Важа учился в Тбилисской государственной консерватории под руководством Александра Шаверзашвили [ка] и Ионы Туския. В 1961 году он получил диплом об окончании аспирантуры под руководством Андрия Баланчивадзе. Затем преподавал в своей альма-матер и, в частности, возглавлял Союз композиторов Грузии с 1998 по 2007 год. У него была одна дочь, Натия Азарашвили.
В 1969 году Азарашвили создал концерт для виолончели и камерного оркестра. В 1970-х и 1980-х годах он расширил свой репертуар, занявшись опереттами и балетом. В 1990-е годы, несмотря на плохое экономическое положение в новой независимой Республике Грузия, он создал симфонические сюиты и несколько пьес для фортепиано. Он посвятил много песен родному городу Тбилиси, некоторые из которых исполняли Нани Брегвадзе, Гиули Чохели, Вахтанг Кикабидзе, Этер Какулия, Тамара Гвердцители, Мераб Сепашвили, Орера, VIA Iveria и Teatroni. Его личные архивы хранятся в архивном фонде Национального центра рукописей [ka]. 22 декабря 2011 года его звезда была открыта перед Тбилисским государственным концертным залом.
Важа Азарашвили умер 7 февраля 2024 года в возрасте 87 лет.