<Родился в Баку, Россия, Марк Дробинский учился у Мстислава Ростроповича в Московской консерватории имени Чайковского. Он был удостоен первой премии на Международном конкурсе в Мюнхене. Преподавал в Институте имени Гнесиных, а в 1974 году покинул СССР и уехал в Израиль, после чего обосновался в Париже.
Марк Дробинский был приглашен исполнителем на самых престижных фестивалях. Критики называют его одним из мастеров игры на виолончели. Несмотря на то, что он твердо придерживается классического репертуара, он также страстно заинтересован в открытии новых произведений и является ярым поборником музыки XX века: Г. Соге, Г. Дютийо, А. Шнитке, Д. Мийо, Ж. Дорфман, Ф. Кауфман, А. Рабинович, Г. Занон...
Он выступал со многими прославленными музыкантами: Марта Аргерих, Миша Майский, Лиля Зильберштейн, Патрис Фонтанароса, Дора Шварцберг, Бруно Джуранна, Ален Менье, Рено Капукон, а также с такими дирижерами, как Валерий Гергиев, Мстислав Ростропович, Саулис Сондецкис, Эдуардо Мата, Доминик Фаналь, Шарль Дютуа, Александр Рабинович, Дмитрий Лисс, Аржан Тьен, Арнольд Кац, Сальватор Бротонс, Максим Шостакович и др.
С 2000 года он ежегодно участвует в фестивале Марты Аргерих в Лугано (Швейцария), а также выступал с Мартой Аргерих в театре Колон в Буэнос-Айресе в 2003 году. В 2009 году участвовал в фестивале LUGANO-PARIS в La Salle Pleyel, выступая вместе с Мартой Аргерих.
С 2010 года играл на фестивалях "Моцартеум" - Зальцбург, La Roque d'Antheron, Pietrasanta Festival, а также на Савойском и Средиземноморском фестивалях.
Многие компакт-диски изданы EMI, Talents-Record, Gallo, Cypress и др.
Он давал мастер-классы в Южной Корее, Монако, Сан-Паулу, Мехико, Буэнос-Айресе,
В Японии, на Багамах, в Йоханнесбурге, Женеве, Сиене, Портогруаро (Италия) и т.д.
Дробинский играет на итальянской виолончели, изготовленной Карло Антонио Тесторе в 1748 году.