1978 m. baigė Kauno Juozo Naujalio menų mokyklą violončelės specialybę (Vilniaus Petrausko kl.). Tapo trijų respublikinių jaunųjų violončelininkų konkursų nugalėtoju.
1978 m. įstojo į Lietuvos muzikos konservatorijos (dabar Lietuvos muzikos ir teatro akademija) violončelės klasę pas prof. Domą Svirskį, kurią 1983 m. baigė su pagyrimu. Kamerinio ansamblio disciplinos mokėsi pas pedagogus doc. Michailą Šenderovą ir prof. Algirdą Vizgirdą. Baigęs studijas gavo tuo metu egzistavusį respublikinį paskyrimą studijuoti Maskvos valstybinėje Piotro Čaikovskio konservatorijos aspirantūroje.
1983-1988 m. studijavo ir sėkmingai baigė studijas pas prof. Marką Milmaną.
Nuo 1982 m. iki 1996 m. dirbo Vilniaus Balio Dvariono dešimtmetėje vaikų muzikos mokykloje violončelės mokytoju. Tuo pat metu grojo Vilniaus universiteto kameriniame ansamblyje, taip pat senosios muzikos ir šokio ansamblyje „Banchetto Musicale“ bei Verkių rūmų trio. 1987 m. konkurso keliu pateko į Lietuvos nacionalinio simfoninio orkestro violončelių grupę. 1997 m. laimėjo konkursą violončelių grupės II koncertmeisterio vietai užimti.
Nuo 1987 m. aktyviai koncertavo su įvairiais kameriniais ansambliais. Per eilę metų paruošė daugybę programų su žymiais Lietuvos bei užsienio atlikėjais, tokiais kaip Giedrė Kaukaitė, Regina Maciūtė, Judita Leitaitė, Gintarė Skėrytė, Edgaras Montvydas - Prudkauskas, Algirdas Janutas, Marcel Beekmanas (Olandija), Sigutė Stonytė, Charles Humprhries (Didžioji Britanija), Vieri Bottazzini (Italija), Philippe Bernold (Prancūzija) ir daug kitų.
1989 m. pakviestas į ansamblį „Musica Humana“.
Ansamblio sudėtyje parengti koncertai su klavesinistėmis Giedre Lukšaite-Mrazkova, Aina Kalnciema, su instrumentalistais Raimundu Katiliumi, Audrone Vainiūnaite, Jean – Louis Capezzali ir kitais. Parengta bendrų projektų su Valstybiniu Čiurlionio kvartetu - tai pasirodymai festivalyje ,,Kuršių Nerija‘‘, 2000 m. dalyvavimas Vilniaus festivalyje su tarptautiniu projektu ,,Tiltas‘‘, kuriame buvo atlikti J. S. Bacho ir A. Martinaičio kūriniai. 2003 m. tokiu pačiu pavadinimu išleistas CD. Prancūzų muzikos tarptautiniam projektui įrašytas Francois Couperin karališkas koncertas obojui, violončelei ir klavesinui su žymiu prancūzų obojininku Jean – Louis Capezzali.
2003 m. Lietuvoje ir užsienyje grojo Jurijaus Bašmeto vadovaujame Vilniaus festivalio kameriniame orkestre. Be minėtų kolektyvų Raimundas Jasiukaitis yra daug koncertavęs „Baltic Trio“ sudėtyje, su styginių kvintetu „Intermezzo“, violončelininkų ansambliu „Quincelli“, taip pat Lietuvos operos ir baleto teatro (toliau – LNOBT) kameriniu orkestru bei Lietuvos kameriniu orkestrais. Kaip solistas bei įvairių kolektyvų narys koncertavo daugybėje pasaulio scenų, įvairiuose festivaliuose, tokiuose, kaip „Musica RARA“ Erfurte, „Vendsyssel Danijoje, „Monmartre en Europe“ Paryžiuje, „Vale ot Glamorgan“ Velse, Baltijos šalių kompozitorių festivalyje Stokholme, „Kuršių Nerijos“ festivalyje Neringoje, „Ars Baltica‘‘ Niurnberge‘‘, Bornholm‘‘ Danijoje, festivalyje ,,Gaid‘‘ Lietuvoje, ,,Pažaislio‘‘, „Marių klavyrų‘‘ bei kt. festivaliuose. Solinis atlikėjo repertuaras gausus barokinės ir šiuolaikinės muzikos kūriniais. Raimundas Jasiukaitis buvo kviestas į įvairius kolektyvus atlikti basso continuo solo partijas. Ne kartą atliko solo basso continuo LNOBT spektakliuose „Pasijose pagal Joną“ bei ,,Vilniaus‘‘ festivalyje.
