Ginastera gimė Buenos Airėse tėvo ispano ir motinos italės šeimoje.
Ginastera studijavo Williamso konservatorijoje Buenos Airėse, kurią baigė 1938 m. Būdamas jaunas profesorius, jis dėstė San Martíno karo generolo Liceo. Po apsilankymo JAV 1945–1947 m., kur studijavo pas Aaroną Coplandą Tanglevude, jis grįžo į Buenos Aires. Užėmė daugybę mokytojo pareigų. Tarp žymių jo mokinių buvo Ástoras Piazzolla (mokėsi pas jį 1941 m.), Alcidesas Lanza, Jorge Antunesas, Waldo de los Ríosas, Jacqueline Nova, Blás Atehortua, Rafaelis Aponte-Ledée. Žr.: Muzikos mokinių sąrašas pagal mokytoją: G to J#Alberto Ginastera.
1968 metais Ginastera grįžo į JAV, o 1970 metais – į Europą. Jis mirė Ženevoje, Šveicarijoje, sulaukęs 67 metų ir buvo palaidotas ten Cimetière des Rois.
Ginastera savo muziką suskirstė į tris laikotarpius: „Objektyvusis nacionalizmas“ (1934–1948), „Subjektyvus nacionalizmas“ (1948–1958) ir „Neoekspresionizmas“ (1958–1983). Be kitų skiriamųjų bruožų, šie laikotarpiai skiriasi ir tradicinių Argentinos muzikos elementų naudojimu. Jo objektyviuose nacionalistiniuose darbuose dažnai tiesiogiai integruojamos argentiniečių liaudies temos, o vėlesnių laikotarpių kūriniuose tradiciniai elementai vis labiau abstrahuojasi.
Daugelis Ginasteros darbų buvo įkvėpti Gauchesco tradicijos. Pagal šią tradiciją gaucho arba bežemis lygumų raitelis yra Argentinos simbolis.
Jo Cantata para América Mágica (1960), dramatiškam sopranui ir 53 mušamiesiems instrumentams, buvo paremta senovės ikikolumbo laikų legendomis. Jo premjerą JAV Vakarų pakrantėje 1963 m. UCLA atliko Los Andželo perkusijos ansamblis, vadovaujamas Henri Temianka ir William Kraft.
