Absilas gimė Bonsecours, Hainaut, Belgijoje. Jo mokytojas buvo Bonsecours bazilikos vargonininkas Alphonse Oeyen. Nuo 1913 m. jis studijavo vargonus ir harmoniją Briuselio konservatorijoje, tačiau baigęs studijas nusprendė verčiau susitelkti į kompoziciją.
1922 m. Absilas laimėjo Belgijos Romos premiją, o 1934 m. - Rubenso premiją, kuri leido jam išvykti į Paryžių. Čia jis susipažino su kolegomis kompozitoriais Ibert'u, Milhaud ir Honeggeriu. Absilas pelnė tarptautinį pripažinimą, kai įvyko jo pirmojo fortepijoninio koncerto (op. 30), sukurto 1938 m. Karalienės Elžbietos pianistų konkursui (Ysaye), kuriame šis kūrinys buvo privalomas visiems finalininkams, premjera. Tik vienas iš jų, Moura Lympany, laimėjęs antrąją vietą (po Emilio Gilelio), kūrinį atliko visiškai iš atminties be klaidų.
Nuo 1930 m. Absilas dėstė harmoniją Briuselio konservatorijoje, o po šešerių metų tapo kontrapunkto profesoriumi. Tarp jo konservatorijos mokinių buvo Paulis Danblonas. Jis taip pat dėstė Chapelle Musicale Reine Elisabeth ir Etterbeek muzikos mokykloje. Šiuo laikotarpiu jis kartu su Charlesu Leirensu buvo pirmasis "Revue Internationale de Musique" redaktorius (1936-1952 m.). Nuo 1955 m. buvo Belgijos karališkosios akademijos narys. Mirė Briuselyje, sulaukęs 80 metų.
