1958 m. įstojo į Lietuvos valstybinės konservatorijos Teatrinį fakultetą. Po kelerių metų A. Šurną paskyrė Juozo Rudzinsko asistentu Mokomajame teatre, kuriame jis pradėjo aktoriaus karjerą. 1963 m. vienerius metus dirbo Kauno valstybiniame dramos teatre, o 1964 m. išvyko į Šiaulių dramos teatrą. 1958–1962 m. studijavo LSSR konservatorijos (dab. Lietuvos muzikos ir teatro akademija) Teatriniame fakultete. 1963–1964 m. vaidino Kauno dramos teatre, 1964–1965 m. Šiaulių dramos teatre. Nuo 1964 m. vaidino kine. Nuo 1965 m. buvo Jaunimo teatro aktorius. 1992–1997 m. vadovavo Valstybiniam jaunimo teatrui.
Paskutinieji A. Šurnos vaidmenys – tai mokytojas Labutis spektaklyje „Patriotai“ (rež. J. Vaitkus, 2008), Namo šeimininkas spektaklyje „Raštininkas Bartlbis“ (rež. R. Kazlas, 2010), Daktaras Spivis spektaklyje „Skrydis virš gegutės lizdo“ (rež. V. Griško, 2011), Durininkas spektaklyje „Kovos klubas“ (rež. V. Bareikis, 2012), Virdžilas spektaklyje „Pabaigos pradžia“ (rež. A. Lebeliūnas, 2014). Kine A. Šurna debiutavo jaunojo Rimšos vaidmeniu režisieriaus Vytauto Žalakevičiaus filme „Vienos dienos kronika“ (1963). Vėliau vaidino daugelyje filmų, sukurtų garsiausių Lietuvos kino režisierių – Arūno Žebriūno, Marijono Giedrio, Algimanto Puipos, Raimondo Vabalo, Gyčio Lukšo, Almanto Grikevičiaus, taip pat televizijos režisierių – Broniaus Morkevičiaus, Sauliaus Vosyliaus ir kt. Garsiausi aktoriaus vaidmenys – Herkus Mantas („Herkus Mantas“, rež. Marijonas Giedrys, 1972), Kaminskas („Riešutų duona“, rež. Arūnas Žebriūnas, 1977), tėvas („Moteris ir keturi jos vyrai“, rež. A. Puipa, 1983) bei kiti. Į populiarumo aukštumas garsųjį aktorių pakylėjo visų laikų žinomiausias lietuviškas serialas „Giminės“, kuriame aktorius atliko vieną pagrindinių vaidmenų. A. Šurna pastebėjo, jog bene ilgiausiai žmonės jį tapatino būtent su Antanu Šepučiu: „Net gatvėje Šepučiu šaukdavo, – sakydavo aktorius. – Man tai – savotiškas pripažinimas, gal net didesnis nei laiškų rašymas, komplimentų žėrimas ar gėlių teikimas.“ Vienas paskutiniųjų aktoriaus vaidmenų - didelio pasisekimo sulaukusiame, 2011 m. pastatytame vaidybiniame filme „Tadas Blinda. Pradžia“.
