Groti pradėjo būdamas vos trejų, tačiau rimtai mokytis muzikos ėmėsi būdamas aštuonerių. Baigė tuometinę Šiaulių Sauliaus Sondeckio konservatoriją, kur akordeono žinių ir įgūdžių jį mokė akordeono mokytoja ekspertė Marytė Markevičienė. Studijavo Londono Karališkojoje muzikos akademijoje, profesoriaus Oveno Murėjaus (Owen Murray) klasėje. Vėliau savo bakalauro studijas tęsė Baskų krašto aukštojoje muzikos mokykloje, Ispanijoje, pas profesorių Inakį Alberdį (Iñaki Alberdi).

Būdamas dvylikos, Martynas pradėjo dalyvauti respublikiniuose ir tarptautiniuose konkursuose bei festivaliuose Lietuvoje, Italijoje, Lenkijoje, Prancūzijoje, Baltarusijoje, Estijoje. 2006 m. Šiaulių miesto savivaldybės taryba Martynui suteikė galimybę groti nauju instrumentu. 2009–2010 m. vasaromis surengė koncertinius turus Jungtinėse Amerikos Valstijose. Groja keliuose kameriniuose ansambliuose, kurių vienas naujausių sėkmingiausių „Tango-Factory“ (Martynas Levickis – akordeonas, Lorenas Karteris (Lauren Carter) – vokalas, Rimantas Vingras – fortepijonas)