1974–1982 m. treniravosi pas trenerį Jurijų Fiodorovą Kauno krepšinio mokykloje.
1981 m. Kauno „Žalgiryje“ pradėjo profesionalo karjerą. Tris sezonus (1985–1987 m.) padėjo iškovoti SSRS krepšinio čempionato aukso medalius. 1982 m. SSRS rinktinėje dalyvavo pasaulio krepšinio čempionate, laimėjo auksą. 1985 m. nugalėjo 1985 m. Europos čempionate ir tapo Universiados čempionu Kobėje (Japonija). 1984 ir 1985 m. laikraštis „Gazzetta dello Sport” (Italija) titulavo Europos metų krepšininku.
1985 m. birželio 18 d. A. Sabonį ketvirtajame NBA naujokų biržos rate 74-uoju šaukimu pasirinko Atlantos „Hawks“ komanda. Pasirinkimas anuliuotas, dėl per jauno amžiaus.
1986 m. pirmojo rato 24-uoju šaukimu A. Sabonį pakvietė Portlando „Trail Blazers“, bet dėl politinių motyvų jis negalėjo išvažiuoti į JAV.
1988 m. vasaros olimpinėms žaidynėms SSRS krepšinio rinktinės treneris Aleksandras Gomelskis pakvietė A. Sabonį į rinktinę. Nepaisant neseno atsigavimo po traumos, krepšininkas padėjo SSRS rinktinei olimpinio turnyro pusfinalyje nugalėti JAV rinktinę (tai tapo antru JAV pralaimėjimu nuo 1936 metų), o finale iškovoti auksą. 1988 m. trečią kartą išrinktas geriausiu Europos krepšininku.
1989 m. krepšininkas jau galėjo palikti SSRS, tačiau pasirinko ne Portlando „Trail Blazers“, o Ispanijos Valjadolido „Forum“ komandą. 1992 m. perėjo į Madrido „Real“. 1993 ir 1994 m. A. Sabonis su „Real“ tapo Ispanijos čempionu, 1995 m. iškovojo Europos klubų čempionato taurę. 1993 ir 1995 m. išrinktas geriausiu Europos krepšininku.
1995 m. prisijungė prie Portlando „Trail Blazers“, kurioje žaidė septynis sezonus (2001–2002 m. sezone nežaidė). 1997 m. išrinktas geriausiu Europos krepšininku. 1999 m. NBA.com svetainės lankytojai A. Sabonį išrinko didžiausią įtaką NBA padariusiu užsieniečiu.
2003 m., po 14 metų pertraukos, grįžo į Lietuvą ir su Kauno „Žalgiriu“ tapo Lietuvos čempionu ir naudingiausiu Eurolygos sezono žaidėju. 2004 m. gegužės 15 d. sužaidė savo paskutines profesionalo karjeros rungtynes: LKL superfinalo mače prieš Vilniaus „Lietuvos rytą“ įmetė 14 taškų, atkovojo 13 kamuolių ir padėjo savo komandai laimėti LKL finalo seriją. Ilgai aktyviai nebesportavęs, 2005 m. gruodį pareiškė baigiantis krepšininko karjerą.
2011–2021 m. Lietuvos krepšinio federacijos prezidentas
