Lietuvos arkivyskupas, nuo 1643 m. palaimintasis, nuo 1867 m. šventasis (šventė – lapkričio 12 d.) pirmasis unitų šventasis.
Tėvas, rusėnų pirklys, vadinosi Kunčycas. Užėmęs aukštas bažnytines pareigas, Juozapatas „subajorino“ pavardę į Kuncevičių. Mokėsi vietinėje stačiatikių mokykloje, 1596 m. atvyko į Vilnių mokytis pirklio amato. 1604 m. įstojo į Vilniaus Švč. Trejybės bazilijonų vienuolyną. 1609 m. įšventintas jerėjumi ir paskirtas novicijų auklėtoju, nuo 1614 m. vienuolyno archimandritas. 1617 m. paskirtas Bytenės prie Slanimo vienuolyno igumenu. Nuo 1617 m. Polocko unitų vyskupas koadjutorius. Jis ir metropolitas V. Rutskis Rūtos dvare prie Naugarduko sukvietė bazilijonų vienuolynų kapitulą, sujungė Vilniaus, Bytenės, Žirovicų, Minsko ir Naugarduko bazilijonų vienuolynus, reorganizavo bazilijonų ordiną ir įkūrė Šv. Bazilijaus Didžiojo ordiną – Švč. Trejybės kongregaciją su centru Vilniuje – bazilijonai. Nuo 1618 m. Polocko arkivyskupas. Uoliai propagavo Katalikų ir Stačiatikių bažnyčių uniją, kuriai priešinosi stačiatikiai. Nužudytas sukilusių unijai priešiškų Vitebsko gyventojų. Palaikai saugoti Polocko unitų katedroje, vėliau slapstyti įvairiose vietose, 1949 m. perkelti į Šv. Petro baziliką Romoje.
