Josefovičius gimė Misisogoje, Ontarijuje, Kanadoje. Būdama maža, jos šeima persikėlė į Los Andželą (Kalifornija), kur būdama trejų su puse metų pradėjo mokytis groti smuiku pagal Suzuki metodą. Kartu su ja mokėsi jos tėvas, fizikas Jackas Josefowiczius, ir motina, biologė Wendy Josefowicz. Būdama penkerių metų ji pradėjo oficialias pamokas pas Idel Low. Būdama septynerių metų ji pradėjo mokytis pas žymų smuiko mokytoją Robertą Lipsettą Kolburno mokykloje. Leilos tėvai, vertindami visapusišką išsilavinimą, manė, kad tiek ji, tiek jos brolis Stevenas turėtų likti valstybinėje mokykloje, todėl Leila lankė valstybinę gimnaziją ir vidurinę mokyklą, nors jos užsiėmimų grafikas buvo labai pilnas muzikos užsiėmimų.
Kai Leilai buvo 13 metų, Josefowicziai persikėlė į Filadelfiją, kad ji galėtų lankyti prestižinį Curtiso muzikos institutą, kur mokėsi pas Jaime'ą Laredo, Jaschą Brodskį, Feliksą Galimirą ir Josephą Gingoldą. Studijuodama Curtiso mokykloje Leila taip pat lankė Julia R. Masterman mokyklą Filadelfijoje ir tais pačiais metais įgijo muzikos bakalauro laipsnį bei vidurinės mokyklos diplomą.
Būdama dar paauglė, L. Josefowicz grojo su simfoniniais orkestrais Europoje, Azijoje ir Šiaurės Amerikoje, įskaitant didžiuosius Filadelfijos, Klivlendo, Los Andželo, Hiustono, Čikagos, Bostono, Monrealio ir Toronto orkestrus.
1994 m. L. Josefowicz debiutavo Karnegio salėje, atlikdama P. Čaikovskio koncertą su seru Neville'iu Marrineriu ir "Academy of St. Martin in the Fields". Tais pačiais metais ji pasirašė išskirtinę įrašų sutartį su "Philips Classics" ir įrašė P. Čaikovskio ir P. Sibelijaus koncertus. Vėliau "Warner Classics", "Nonesuch Records" ir "Deutsche Grammophon" išleido kitus įrašus, tarp kurių - šedevrai smuikui solo, rečitalio repertuaras, romantinių ir šiuolaikinių kompozitorių koncertai.
Josefovičius turi įtemptą tarptautinį solistų grafiką, nuolat koncertuoja visame pasaulyje: Šiaurės ir Pietų Amerikoje, Europoje, Azijoje, Australijoje ir Naujojoje Zelandijoje. Be tradicinių šedevrų, ji atliko šiuolaikinius kūrinius su tokiais orkestrais kaip Berlyno filharmonijos, Karališkasis "Concertgebouw", Bostono simfoninis, Čikagos simfoninis, Niujorko filharmonijos, Klivlendo, Los Andželo filharmonijos, San Francisko simfoninis, Ciuricho "Tonhalle-Orchester", Suomijos radijo simfoninis, Karališkasis Škotijos nacionalinis, Sent Luiso simfoninis ir Atlantos simfoninis orkestrai. Neseniai ji taip pat pasirodė su Londono simfoniniu orkestru, Leipcigo "Gewandhausorchester", Londono filharmonijos orkestru, Miuncheno filharmonijos orkestru ir Čekijos filharmonijos orkestru.
Josefovič yra pripažinta už naujų kompozicijų, tarp jų Johno Adamso, Oliverio Knusseno, Thomo Adèso ir Lucos Francesconi kūrinių, propagavimą[reikalingas šaltinis]. 2008-2009 m. su Los Andželo filharmonijos orkestru ji atliko Esa-Pekka Saloneno jai parašyto smuiko koncerto, už kurį jis pelnė Grawemeyerio premiją, pasaulinę premjerą; Stevenas Mackey jai parašė smuiko koncertą, kurio pasaulinė premjera įvyko su Sent Luiso simfoniniu orkestru; Colinas Matthewsas jai parašė koncertą, kurio pasaulinė premjera įvyko su Birmingemo miesto simfoniniu orkestru. 2014 m. ji atliko Luca Francesconi jai parašyto koncerto "Duende" pasaulinę premjerą, už kurį jis pelnė Karališkosios filharmonijos draugijos muzikos apdovanojimą. 2015 m. su Niujorko filharmonijos simfoniniu orkestru ji atliko pasaulinę Johno Adamso jai parašyto koncerto "Šecherezada.2" premjerą.
Josefovič 1994 m. gavo Avery Fisherio karjeros stipendiją. Už naujų šiuolaikinių kūrinių smuikui propagavimą Josefowicz 2008 m. buvo paskirta MacArthuro stipendininke. 2007 m. ji tapo JAV Cummingso stipendininke, Jungtinių Amerikos Valstijų menininkų stipendija[reikalingas šaltinis]. 2018 m. jai buvo įteikta Avery Fisherio premija.
