Gautier Capuçon gimė Šamberi, Savojoje, jauniausias iš trijų brolių ir seserų. Jo brolis - smuikininkas Renaud Capuçon.
Gautier Capuçon pradėjo mokytis groti violončele būdamas ketverių metų. Formalųjį muzikinį išsilavinimą pradėjo gimtajame mieste, Šamberi nacionalinėje muzikos mokykloje (Ecole Nationale de Musique de Chambéry), kurią baigė violončelės ir fortepijono specialybių pirmosiomis premijomis.
Paryžiuje violončelės iš pradžių mokėsi pas Annie Cochet-Zakine, kuri jį išgirdo Šamberi ir atsivedė į Paryžiaus aukštąją konservatoriją (CNR), kurią 1997 m. baigė violončelės specialybės pirmąja premija. Vėliau tapo violončelės pedagogo Philippe'o Mullerio mokiniu Paryžiaus nacionalinėje aukštojoje muzikos konservatorijoje (CNSMP), kurią 2000 m. baigė pelnęs pirmąsias violončelės ir kamerinės muzikos premijas. Vėliau jis baigė studijas Vienos muzikos ir scenos menų universitete pas Heinrichą Schiffą.
1997-1998 m., būdamas studentas, violončelininkas grojo Europos Bendrijos jaunimo orkestre (dabar - Europos Sąjungos jaunimo orkestras), taip pat Gustavo Mahlerio jaunimo orkestre (Gustav Mahler Jugendorchester), diriguojant tokiems dirigentams kaip Bernardas Haitinkas, Pierre'as Boulezas ir Claudio Abbado.
Jis taip pat yra puikus pianistas. Fortepijono pradėjo mokytis būdamas septynerių metų, o Paryžiaus aukštojoje konservatorijoje jį studijavo kaip antrąjį instrumentą pas Christophe'ą Egiziano. Laisvalaikiu mėgsta groti džiazo fortepijonu. Dabar jis dėsto Classe d'Excellence de Fondation Louis Vuitton su jaunaisiais studentais.
