Josué Meléndez pradėjo savo muzikos studijas groti trombonu Kosta Rikoje Conservatorio Castella. 1991–1995 m. studijavo Meksikos universiteto Escuela Nacional de Música ir įkūrė pirmąjį Meksikos senosios muzikos festivalį; Festivalis Santo Domingo de Música Antigua, kuriame jis dirigavo Claudio Monteverdi „L’Orfeo“ ir daugeliui kitų projektų. 1997 m. Josué persikėlė į Hagą, kur Koninklijk konservatorijoje įgijo du įrašymo diplomus, įskaitant vieną su pagyrimu už naująją muziką. 2002–2006 m. studijavo kornetą Schola Cantorum Basiliensis pas Bruce'ą Dickey. Nuo to laiko jis dirbo zinkenistu ir grotuvu visame pasaulyje, koncertuodamas ir įrašydamas kompaktines plokšteles su tokiais garsiais senosios muzikos ansambliais kaip Concerto Palatino, La Fenice, Les Cornets Noirs, Musica Fiata, Oltremontano, Nederlandse Bach Vereniging, His Majestys Sagbutts & Cornetts, Senovės muzikos akademijoje ir su tokiais garsiais dirigentais kaip Ton Kopman, Jordi Saval, Gabriel Garrido, Rinaldo Alessandrini, Claudio Cavina, Philippe Herreweghe, Paul van Nevel, Thomas Hengelbrock, Sigiswald Kuijken ir kt.Jo įkurtas ansamblis I Fedeli laimėjo pirmąją premiją „Tarptautiniame atlikėjų pristatyme“ Antverpene ir sukūrė du kompaktinių diskų kūrinius: Johanno Rosenmüllerio – „Lo Zuane Tedesco“ „PanClassics“ ir „Tarasconi Codex Diminuito“ už Passacaille.Josué Meléndez yra baroko improvizacijos specialistas, dėsto korneto ir deminucijos techniką Frankfurto HfMDK ir HfM Bremen, taip pat vedė seminarus ornamentikos ir mažinimo klausimais įvairiuose universitetuose ir institucijose, pavyzdžiui, Udk Berlin, HMF Freiburg, UNAM Mexico, Norvegijos pučiamųjų instrumentų ansamblis ir Urbino akademija, be kita ko. Akademinėje srityje parašė keletą straipsnių apie muzikinę ornamentiką.
