Markas Drobinskis gimė Baku, Rusijoje, studijavo Maskvos P. Čaikovskio konservatorijoje pas Mstislavą Rostropovičių. Tarptautiniame Miuncheno konkurse jis pelnė pirmąją premiją. Dėstė Gnesinų institute, o 1974 m. paliko SSRS ir išvyko į Izraelį, kol galiausiai apsistojo Paryžiuje.
Markas Drobinskis buvo kviestinis atlikėjas prestižiškiausiuose festivaliuose. Kritikai jį vadina vienu iš violončelės meistrų. Nors jis tvirtai įvaldęs klasikinį repertuarą, tačiau aistringai domisi ir naujų kūrinių atradimais, yra karštas XX a. muzikos puoselėtojas: H. Sauguet, H. Dutilleux, A. Schnittke, D. Milhaud, J. Dorfman, F. Kaufman, A. Rabinovitch, G. Zanon...
Jis koncertavo su daugeliu garsių muzikantų: Martha Argerich, Misha Majsky, Lilya Zilberstein, Patrice Fontanarosa, Dora Scwarzberg, Bruno Giuranna, Alain Meunier, Renaud Capucon, dirigentais Valerijumi Gergijevu, Mstislavu Rostropovičiumi, Sauliumi Sondeckiu, Eduardo Mata, Dominique'u Fanalu, Charlesu Dutoit, Aleksandru Rabinovičiumi, Dmitrijumi Lissu, Arjanu Tienu, Arnoldu Katzu, Salvatoriumi Brotonu, Maksimu Šostakovičiumi ir kt.
Nuo 2000 m. kasmet dalyvauja Martos Argerich festivalyje Lugane (Šveicarija), taip pat 2003 m. koncertavo kartu su Martha Argerich Buenos Airių teatre "Teatro Colon". 2009 m. dalyvavo LUGANO-PARIS festivalyje La Salle Pleyel, kur grojo kartu su Martha Argerich.
Nuo 2010 m. grojo "Mozarteum" - Zalcburgo festivalyje, La Roque d'Antheron, Pietrasantos festivalyje, taip pat Savojos ir Viduržemio jūros festivaliuose.
Daug kompaktinių plokštelių išleido EMI, "Talents-Record", "Gallo", "Cypress" ir t. t.
Jis vedė meistriškumo kursus Pietų Korėjoje, Monake, San Paule, Meksiko mieste, Buenos Airėse,
Japonijoje, Bahamų salose, Johanesburge, Ženevoje, Sienoje, Portogruaro mieste (Italija) ir t. t.
Drobinskas groja 1748 m. Carlo Antonio Testore pagaminta itališka violončele.